🧮 C++高精度运算
电脑里一个 int 最大才到二十多亿，可要是算「两个一百位的数相加」，直接存就爆了。高精度运算的办法像我们手算列竖式：把超长的数拆成一位一位，一格存一位，再按竖式的规矩进位、借位。这一页就把这个「竖式模拟器」学起来。
考纲知识点：C++数组模拟高精度加法、减法、乘法、除法
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考纲 · 知识点详述
摘自《CCF编程能力等级认证 C++&Python 认证标准》C++ 五级
- (2)掌握C++数组模拟高精度加法、减法、乘法和除法的相关知识。
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先学一学
花 5 分钟读完下面 5 课，再去闯关就不慌啦
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🏗️ 为什么需要高精度：一格装不下就用一排格子
C++ 的 int 大约能存到 21 亿，long long 也最多到「9 后面 18 个 0」左右。可要算的数是几百位（比如 2 的 1000 次方），没有一种现成整数类型装得下。怎么办？像算盘一样把数拆开：每一位数字放数组的一格里。
📦 一位存一格：把 12345 放进去
看得懂就好，不用背：
string s = "12345";
int a[100] = {};
for (int i = 0; i < s.size(); i++)
a[i] = s[s.size() - 1 - i] - '0';
int a[100] = {};
for (int i = 0; i < s.size(); i++)
a[i] = s[s.size() - 1 - i] - '0';
关键技巧：把个位放到 a[0]、十位放 a[1]……也就是倒着存。这样做加法进位时，进到「下一位」就是数组下标加 1，方便极了！
💡 口诀：个位放开头、倒着存数字；进位就往后挪一格，下标加 1 就进位。
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➕ 高精度加法：满 10 就向前进 1
和手算一模一样：从个位（下标 0）开始，同位相加，满 10 向前进 1。比如算 35 + 78：个位 5+8=13，写下 3、进 1；十位 3+7+1=11，写下 1、进 1；最高位再写 1 → 结果是 113。
💻 读代码：高精度加法核心循环
看得懂就好，不用背：
int carry = 0;
for (int i = 0; i < maxLen; i++){
int sum = a[i] + b[i] + carry;
a[i] = sum % 10; // 这一位留下个位
carry = sum / 10; // 满 10 的部分进到下一位
}
for (int i = 0; i < maxLen; i++){
int sum = a[i] + b[i] + carry;
a[i] = sum % 10; // 这一位留下个位
carry = sum / 10; // 满 10 的部分进到下一位
}
carry 就是「进上去的 1」；循环结束若 carry 还是 1，就在最高位再补一个 1。
💡 口诀：同位相加加进位，留个位、进十位；进位别忘了补到最前面。
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➖ 高精度减法：不够减就向高位借 1 当 10
减法从个位开始同位相减：够减直接减，不够减就向高位借 1 当 10。算 523 − 46：个位 3 不够减 6，向十位借 1，13−6=7；十位原来 2 被借走变 1，1 不够减 4，再向百位借 1 变 11，11−4=7；百位 5 被借走变 4 → 477。
⚠️ 减法要当心的事
· 先判断谁大：保证大数减小数，结果才不会是负的绕圈；若 a 小于 b，先输出负号再算 b − a。
· 借位标记：当前位置不够减时，给下一位记「欠 1」。
· 结果前面可能多出 0（比如 1000 − 999 = 0001），输出前要把开头的 0 去掉。
· 借位标记：当前位置不够减时，给下一位记「欠 1」。
· 结果前面可能多出 0（比如 1000 − 999 = 0001），输出前要把开头的 0 去掉。
💡 口诀：减法是「不够借 1 当 10」；大减小加负号，开头的 0 要抹掉。
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✖️ 高精度乘法：每一位都乘一遍，错位相加
乘法也照竖式来：第二个数的每一位都要去乘第一个数的每一位，得到的部分积按位置错开累加。比如 123 × 45：先用 5 乘 123 得 615；再用 4 乘 123 得 492，但 4 是十位，所以结果要左移一位写（相当于 4920）；最后 615 + 4920 = 5535。
💻 读代码：乘法累加骨架
看得懂就好，不用背：
for (int i = 0; i < lenA; i++)
for (int j = 0; j < lenB; j++)
ans[i + j] += a[i] * b[j];
// 最后再统一处理进位：每格 %10 留下个位，/10 加到下一格
for (int j = 0; j < lenB; j++)
ans[i + j] += a[i] * b[j];
// 最后再统一处理进位：每格 %10 留下个位，/10 加到下一格
下标 i + j 就是「错位」的落点：第二位乘的结果天然落在更高一位上。
💡 口诀：每个数字互乘一遍，落在 i+j 格；先累加、再一次进位。
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➗ 高精度除法：从高位一位一位「试商」
🧪 除法怎么竖式
加、减、乘都是从低位（个位）开始；唯独除法反过来，从最高位开始：把当前「剩余的数」拿出来，看看能除以除数几次（这叫试商），写下商，余数留下拼到下一位。除数是普通整数时好办；除数是另一个大数时更麻烦，通常会转成「减法反复减」或二分试商。
💡 口诀：加减乘从个位起，除法从最高位试；余数留下来接着除。
🆚 四则运算一表看清
· 加法：从个位，满十进一。
· 减法：从个位，不够借一当十，先保证大减小。
· 乘法：每一位互乘、错位累加，再一次进位。
· 除法：从最高位试商，余数参与下一位。
· 减法：从个位，不够借一当十，先保证大减小。
· 乘法：每一位互乘、错位累加，再一次进位。
· 除法：从最高位试商，余数参与下一位。
💡 口诀：加进位、减借位、乘错位、除试商——竖式四兄弟，规矩各不同。
🌟 行业实际：加密和银行都在用大数
网络加密要用几百位的大数做运算；银行对账单、身份证校验、天体距离计算也常超过普通整数范围。真实世界里「一个格子装不下」是常有的事，会模拟竖式就能算别人算不了的大数。
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闯关小锦囊 · 考点提醒
- 高精度：整数类型装不下超长数，用数组一位存一格，个位放数组开头（倒着存）。
- 加法：从个位同位相加，满 10 向前进 1，最后进位别忘了补到最高位。
- 减法：不够减向高位借 1 当 10；先保证大减小，输出前去掉开头的 0。
- 乘法：每一位互乘，部分积累加到 i+j 格，再一次进位。
- 除法：从最高位开始逐位试商，余数接着除。
- 低位在前时借位写法：向高一位借 1 是 a[i + 1]--，自己这一位补 a[i] += 10；处理进位要把当前格 c[k] 和 carry 相加。
- 乘法运算时间和两个数的位数都有关（每位乘每位），不是只看较长的那一个。
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下面 14 个小挑战，点一点就能玩
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