🔺 杨辉三角
把一排数字堆成三角形：最外面都是 1，里面每个数都等于「上面两个数加起来」。这个奇妙的三角藏着组合数的密码——第 n 行的数加一加是 2 的 n 次方，拆开 (a+b) 的乘方也会露出它的影子。
考纲知识点：杨辉三角的定义
杨辉三角形的实现
杨辉三角形的实现
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考纲 · 知识点详述
摘自《CCF编程能力等级认证 C++&Python 认证标准》C++ 八级
- (3)掌握杨辉三角形（又称帕斯卡三角形）的概念。
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先学一学
花 6 分钟读完下面 5 课，再去闯关就不慌啦
1
🧱 一块块数字砖头：两条规则
杨辉三角（外国叫帕斯卡三角形）排成一个三角形，只要记住两条规则：① 最外面（两边）都是 1；② 里面的每个数 = 它上面两个数的和。
📐 看前几行
第0行： 1
第1行： 1 1
第2行： 1 2 1
第3行： 1 3 3 1
第4行： 1 4 6 4 1
第1行： 1 1
第2行： 1 2 1
第3行： 1 3 3 1
第4行： 1 4 6 4 1
看第 4 行的 6：它上面是第 3 行的 3 + 3 = 6。两边永远是 1。
💡 口诀：杨辉三角真奇妙，两边都是 1 宝宝；中间每个数，上边两数加起来。
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✨ 每行加起来：2 的 n 次方
➕ 把每一行加一加
第 0 行：1 → 1 = 2⁰
第 1 行：1+1 = 2 = 2¹
第 2 行：1+2+1 = 4 = 2²
第 3 行：1+3+3+1 = 8 = 2³
第 4 行：1+4+6+4+1 = 16 = 2⁴
所以第 n 行所有数之和 = 2 的 n 次方。
第 1 行：1+1 = 2 = 2¹
第 2 行：1+2+1 = 4 = 2²
第 3 行：1+3+3+1 = 8 = 2³
第 4 行：1+4+6+4+1 = 16 = 2⁴
所以第 n 行所有数之和 = 2 的 n 次方。
💡 口诀：每行求和真方便，二的小 n 次方（第 n 行 = 2ⁿ）。
🎯 考一考
第 10 行所有数加起来 = 2¹⁰ = 1024。记住从第 0 行开始数哦！
3
🎰 杨辉三角 = 组合数表 = 二项式系数
🧩 第 n 行第 k 个数 = C(n,k)
从 n 个东西里选 k 个的组合数 C(n,k)，正好站在杨辉三角第 n 行第 k 个。比如第 4 行是 1 4 6 4 1：C(4,0)=1、C(4,1)=4、C(4,2)=6、C(4,3)=4、C(4,4)=1。
💡 口诀：三角藏组合，第 n 行第 k 个 = C(n,k)。
📦 拆 (a+b) 的乘方
(a+b)² = 1·a² + 2·ab + 1·b²，系数是 1 2 1 → 第 2 行。
(a+b)³ = 1·a³ + 3·a²b + 3·ab² + 1·b³，系数 1 3 3 1 → 第 3 行。
所以这些系数叫二项式系数。两边规则「上面两数相加」就是组合数的加法 C(n,k)=C(n−1,k−1)+C(n−1,k)。
(a+b)³ = 1·a³ + 3·a²b + 3·ab² + 1·b³，系数 1 3 3 1 → 第 3 行。
所以这些系数叫二项式系数。两边规则「上面两数相加」就是组合数的加法 C(n,k)=C(n−1,k−1)+C(n−1,k)。
💡 口诀：拆 (a+b)ⁿ 看系数，杨辉三角来帮忙。
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💻 程序怎么盖「数字砖头」
🏢 二维数组版：一行行存
看得懂就好，不用背：
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= i; j++) {
if (j == 1 || j == i) a[i][j] = 1; // 两边是 1
else a[i][j] = a[i-1][j-1] + a[i-1][j]; // 中间=上两数之和
}
for (int j = 1; j <= i; j++) {
if (j == 1 || j == i) a[i][j] = 1; // 两边是 1
else a[i][j] = a[i-1][j-1] + a[i-1][j]; // 中间=上两数之和
}
a[i][j] = a[i-1][j-1] + a[i-1][j] 就是「我=左上+右上」——和口诀一模一样。
💨 一维数组版：一行滚动更新
为了省内存，只用一行数组从右往左更新：a[j] += a[j-1]。因为从右往左算，右边的旧值还没被覆盖，正好留给下一格用。
for (int i = 0; i < n; i++) {
a[i] = 1;
for (int j = i - 1; j > 0; j--) a[j] += a[j - 1];
}
a[i] = 1;
for (int j = i - 1; j > 0; j--) a[j] += a[j - 1];
}
两个版本都是两层循环，规模 n 行 → 大约做 n²/2 次加法，所以时间复杂度 O(n²)。
💡 口诀：二维存整座三角，一维滚动省内存；都要两重循环，时间 O(n²)。
5
🇨🇳 中国数学的骄傲 + 藏在格子路里
📜 历史上叫「贾宪三角 / 杨辉三角」
中国数学家贾宪在北宋就研究过它，南宋杨辉把它写进《详解九章算法》，所以叫杨辉三角；欧洲帕斯卡比这晚了几百年才重新发现，外国也叫帕斯卡三角形。这是我们中国古代数学的伟大成就！
🗺️ 走格子路线也是它
从网格左上角出发，只能向右、向下走到右下角，走法数也等于组合数/杨辉三角里的数。很多「从一个点走到另一个点有几种走法」的题目，其实就是在搭杨辉三角：ways[x][y] = ways[x-1][y] + ways[x][y-1]。
🌟 行业实际
抽奖概率计算、彩票组合、二项分布、图像里的「帕斯卡金字塔」、AI 里的组合特征——都离不开这张「数字砖头表」。程序员把它存在数组里现查现用，比每次重新算快得多。
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闯关小锦囊 · 考点提醒
- 两条规则：两边是 1；中间 = 上面两数之和（即 a[i][j] = a[i-1][j-1] + a[i-1][j]）。
- 从第 0 行开始数：第 n 行所有数之和 = 2ⁿ。
- 第 n 行第 k 个 = 组合数 C(n,k)；(a+b)ⁿ 展开系数就是第 n 行。
- 二维数组填三角：两重循环 O(n²)；一维滚动更新用 a[j] += a[j-1]，要从右往左。
- 只走右/下的网格路线数 = 组合数（也是杨辉三角）。
- 杨辉三角也叫帕斯卡三角形，源自中国贾宪/杨辉的成就。
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下面 15 个小挑战，点一点就能玩
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