📐 代数与平面几何

方程帮你「把不知道的数算出来」，几何帮你量长方形的长宽、算三角形和圆的面积。编程里用 cmath 数学库算方程、距离、斜率，地图 App 判断「点有没有落在圆里」靠的就是这一页的初中数学！

考纲知识点：一元一次方程
二元一次方程
三角形、圆形、长方形面积

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考纲 · 知识点详述

摘自《CCF编程能力等级认证 C++&Python 认证标准》C++ 八级

(5)掌握代数与平面几何基础知识（初中数学部分）。包括方程的概念及一元一次方程、二元一次方程的基本求解技巧，求基础平面几何概念、求基本图形（如长方形、三角形、圆形等）的面积等。

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先学一学

花 6 分钟读完下面 5 课，再去闯关就不慌啦

⚖️ 方程就是天平：两边同时操作

方程是「含有未知数的等式」，像一架天平：左边 = 右边。解方程就像保持天平平衡——两边同时加、减、乘、除同一个数，最后把未知数 x 单独留在一边。

🧮 例子：x + 7 = 12

两边都减 7：x = 12 − 7 = 5。
一元一次方程就是一个未知数 x，而且 x 的最高次数是 1（没有 x²）。

💡 口诀：方程是天平，两边一起动；移项变号要记牢，x 单边就解好。

💻 程序里的方程

程序里可以直接把解算出来：比如 x = (c - b) / a。看得懂就好，不用背；关键是学会把生活问题翻译成方程。

🐔 二元一次方程：两个未知数要两个式子

二元一次方程有两个未知数（通常 x 和 y），次数都是 1。一个方程不够，需要两个方程组成方程组才能同时解出 x 和 y。最经典的就是「鸡兔同笼」。

🧮 例子：x + y = 7，x − y = 1

两式相加：2x = 8，x = 4；代回 x + y = 7，y = 3。
常用方法：代入法（把一个式子解出 x 再代进另一个）或加减消元法（两式相加减消掉一个未知数）。

💡 口诀：两个未知数，要两个方程；相加相减消一个，代入求出另一个。

📏 三个图形面积：背熟三句口诀

⬛ 长方形：长 × 宽

长方形面积 = 长 × 宽。例如长 5、宽 3 → 15。

💡 口诀：长方形面积，长乘宽。

🔺 三角形：底 × 高 ÷ 2

三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2。为什么 ÷2？因为两个一样的三角形能拼成一个平行四边形/长方形。直角三角形两条直角边互为底和高，面积 = a × b ÷ 2。

💡 口诀：三角形面积，底乘高除以 2。

⚪ 圆：周长 2πr，面积 πr²

圆周长 = 2πr；圆面积 = πr²。扇形的弧长是圆周长的一部分：圆心角 θ（弧度）占整个 2π，所以弧长 = rθ；扇形周长 = 2r + rθ = (2 + θ) · r。

💡 口诀：圆周长 2πr、面积 πr²；扇形周长(2+θ)r，弧长就是 rθ。

🗺️ 坐标系里的老朋友：斜率、距离、共线、在圆内

📈 斜率 = 高差 ÷ 水平差

过 A(xa,ya)、B(xb,yb) 的直线斜率 = (ya − yb) ÷ (xa − xb)，也就是「y 的变化量 ÷ x 的变化量」。

💡 口诀：斜率 = Δy ÷ Δx = (ya−yb)/(xa−xb)。

📏 两点距离 = 勾股定理

两点连线是直角三角形的斜边：距离 = sqrt((x1−x2)² + (y1−y2)²)。程序里用 sqrt(pow(x1-x2,2)+pow(y1-y2,2))。

💡 口诀：两点距离用勾股：横差平方 + 纵差平方，再开根号。

📌 三点共线

三点共线 ⇔ 向量叉积为 0：(x2−x1)(y3−y1) − (x3−x1)(y2−y1) = 0。计算机里用浮点数判断相等不可靠，要判断它绝对值很小（< 1e-8）。

💡 口诀：共线看叉积，等于 0；浮点比较用「很小」别用「相等」。

⭕ 点在圆内/圆上

判断点 P(x,y) 是否在以原点为圆心、半径 r 的圆内：算x² + y² 和 r² 比大小，不用开根号！半径 5 的圆：x·x + y·y <= 25 就在圆内或圆上。

💡 口诀：判断圆内圆上，平方和对比半径平方，省一次开根号。

🧭 余弦定理：知道两边一夹角求第三边

🔺 余弦定理

三角形两条边 a、b，夹角 θ（弧度），第三边 c² = a² + b² − 2ab·cos θ，所以 c = sqrt(a² + b² − 2ab·cosθ)。周长 = a + b + c。程序里 cos(theta)、sin(theta)、sqrt(...) 都在 <cmath> 里。注意 C++ 的三角函数用弧度不是角度。

💡 口诀：知道两边夹一角，余弦定理求第三边；周长记得加上那两边。

🌟 行业实际

地图 App 判断「你在不在某片圆形服务区里」、游戏算「子弹和敌人距离多远」、导航算「两点连线有多陡」，用的全是这页的公式——数学就是程序员随身带的尺子。

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闯关小锦囊 · 考点提醒

长方形面积 = 长 × 宽；三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2；圆周长 2πr、面积 πr²。
一元一次方程：两边同加减乘除，把 x 单独放一边；二元一次方程组用代入或加减消元。
斜率 = (ya−yb)/(xa−xb)；两点距离用勾股：sqrt((x1−x2)²+(y1−y2)²)。
三点共线看叉积是否为 0；浮点数要判断 < 1e-8，不能直接 ==0。
判断点在圆内/圆上：比 x²+y² 与 r²，不用开根号。
余弦定理：c² = a²+b²−2ab·cosθ，可求第三边再算周长；C++ 三角/开方函数在 cmath，角度用弧度。
扇形周长 = 2r + rθ = (2+θ)·r（θ 为弧度）。

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学完了？来闯关！

下面 16 个小挑战，点一点就能玩

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